Sabemos calcular áreas de regiões simétricas, mas como calcular áreas de regiões curvas não simétricas? Entenda aqui como isso é possível a partir da ideia de integral. Entenda também a diferença entre integral definida e indefinida. No fim, veja vídeos sobre o assunto para que você possa fixar e aprofundar conhecimentos sobre o que foi estudado!
O que são integrais e para que servem?
O conceito da integral surgiu a partir da necessidade de se calcular a área de uma região curva não simétrica. Por exemplo, a área sobre o gráfico da função f(x) = x² é difícil de ser calculado, pois não existe uma ferramenta exata para isso.
Outro problema conhecido é o da distância. Sabemos calcular a distância percorrida por um objeto quando sua velocidade é constante. Isso também pode ser feito através do gráfico de velocidade em função do tempo, mas quando essa velocidade não é constante não conseguimos calcular esta distância de uma maneira tão simples.
Estas foram algumas das situações para o surgimento da integral, mas lembrando que a integral possui várias aplicações além dessas, como o cálculo de áreas, volumes e suas aplicações na física e na biologia. Vale ressaltar também que isso é apenas um resumo do que seria uma integral, pois sua definição é puramente matemática e requer algum conhecimento em cálculo de limites.
Integral definida x indefinida
Vamos, então, estudar sobre duas formas de integrais: integral definida e a integral indefinida. Aqui, iremos entender a diferença entre elas e ver como se calcula cada uma delas.
Integral definida
Suponhamos uma função f(x) ao qual seu gráfico seja curvo e que seja definida em um intervalo de a até b. Vamos então desenhar alguns retângulos dentro desse intervalo da função f(x), conforme a imagem a seguir.
Considerando que temos n retângulos na imagem anterior, ao tendermos o valor de n para infinito, saberemos com exatidão o valor da área dessa função.
Está é uma definição informal de uma integral definida. Uma definição formal é apresentada a seguir.
Se f é uma função contínua definida em a≤x≤b, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais Δx=(b-a)/n. Sejam x0(=a), x1,x2, . . . , xn(=b) as extremidades desses subintervalos, escolhemos os pontos amostrais x*1 , x*2 , …, x*n nesses subintervalos, de forma que x*i esteja no i-ésimo subintervalo [xi-1, xi]. Então, a integral definida de f de a a b é
desde que este limite exista. Se ele existir, dizemos que f é integrável em [a, b].
A integral definida pode ser interpretada como a área resultante de uma região. Além disso, ela é um valor em seu resultado final, ou seja, não depende da variável x podendo esta ser trocada por qualquer outra variável sem a alteração do valor da integral.
Para se calcular uma integral definida, podemos utilizar a sua definição, porém este método requer certo conhecimento com somatório e limites já que a definição possui ambos. Podemos também utilizar as tabelas de integrais que são encontradas em livros didáticos ou mesmo na internet.
Iremos mostrar a seguir alguns exemplos para que você possa compreender como se calcula uma integral definida a partir da tabela de integrais.
Nos exemplos acima, foi utilizada a forma da integral de polinômio e da integral do seno. Para resolver, substituímos os valores dos limites superiores e inferiores no resultado da integral. Em seguida, fazemos o resultado do limite superior menos o resultado do limite inferior.
Integral indefinida
De uma forma geral, a integral indefinida de uma função f é conhecida como sendo a primitiva de f. Em outras palavras, a integral indefinida representa toda uma família de funções que são diferenciadas por uma constante C. Alguns exemplos de integral indefinida:
Enquanto a integral definida é um número, por exemplo, o valor da área de um gráfico, a integral definida é uma função.
O cálculo deste tipo de integral também é feito através da tabela de integrais que foi citada anteriormente. Um exemplo desta tabela pode ser vista a seguir.
Saiba mais sobre integrais
Apresentaremos a seguir algumas videoaulas sobre integrais para que você possa entender muito mais sobre elas e tire as suas dúvidas restantes sobre o assunto!
Noções básicas
Aqui, é mostrado alguns dos conceitos básicos sobre integrais. Desta forma, quase todo o conteúdo visto até aqui pode ser revisado com essa videoaula.
Integral indefinida
Neste vídeo, é apresentado uma introdução sobre as integrais indefinidas e algumas de suas propriedades.
Integral definida
Entender sobre integral definida é muito importante, pois ela tem várias aplicações. Pensando nisso, apresentamos aqui uma breve aula sobre esta integral e o cálculo de áreas.
Por fim, é importante revisar sobre funções e derivadas. Desta forma, seus estudos vão ficar completos!
Referências
STEWART, James. Cálculo – volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2013.

Por Guilherme Santana da Silva
Graduado no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica à vida religiosa, praticar mountain bike, tocar bateria, dar atenção à família e cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.
Santana, Guilherme. Integrais. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/integrais. Acesso em: 17 de April de 2021.
1.
Calcule a seguinte integral definida:
Solução
2.
Calcule a seguinte integral definida:
Solução: