Derivadas

Derivadas são de extrema importâncias em várias áreas de estudos das ciências exatas. A velocidade de um carro pode ser considerada como um exemplo disso e entre muitas outras situações.

Qual o intuito de se estudar derivadas? Apresentaremos aqui qual o motivo para se estudar este conteúdo, além de apresentar o que é a derivada de uma função, como surgiu o seu conceito e algumas regras de derivação.

O que é derivada de uma função?

De uma maneira geral, a derivada é a inclinação da reta tangente que passa por uma determinada curva. Além disso, podemos utilizar a derivada em física, pois ela também é uma taxa de variação, como por exemplo, a velocidade.

De uma maneira mais formal, podemos definir a derivada da seguinte maneira:

A derivada de uma função f em um número a, denotada por f'(a), é

se o limite existir.

Para entender este conceito formal de derivada, é importante estudar e revisar sobre limites. Vamos agora entender como surgiu o conceito de derivadas.

Como surgiu o conceito de derivadas?

O conceito de derivadas surgiu com Pierre Fermat no século XVII. Com seus estudos sobre funções, ele chegou a um empasse sobre a definição do que era uma reta tangente. Ele percebeu que algumas das funções estudadas não batiam com a definição de reta tangente da época. Isso ficou conhecido como “problema da tangente”.

Foi, então, que ele resolveu o problema da seguinte maneira: para determinar uma reta tangente a uma curva no ponto P, ele definiu um outro ponto Q na curva e considerou a reta PQ. Desta forma, aproximou o ponto Q ao ponto P, obtendo assim retas PQ que se aproximavam de uma reta t que Fermat chamou de reta tangente ao ponto P.

Estas foram as ideias consideradas como “embriões” para o conceito de derivadas. Entretanto, Fermat não possuía as ferramentas necessárias, por exemplo, o conceito de limite por ainda não ser conhecido na época. Foi apenas com Leibniz e Newton que o cálculo diferencial tornou-se possível e importante para as ciências exatas.

Regras de derivação

Para facilitar o cálculo de derivadas, algumas regras de derivação foram “criadas”. Desta forma, vamos conhecer algumas dessas regras. Vamos considerar que f(x) e g(x) são funções genéricas que dependem da variável x e f'(x) e g'(x) são as derivadas dessas funções, respectivamente.

Regra da potência

Esta regra é conhecida como regra do “tombo”. Isso se deve ao fato de que a potência n “cai” quando derivamos uma função potência. Por exemplo, a derivada de f(x) = x2 é f'(x) = 2x.

Regra da multiplicação por constante

O que acontece aqui é que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em outras palavras, a constante “sai” e fazemos apenas a derivada da função. Por exemplo, vamos considerar a função f(x) = 3x4 e sua derivada é:

Regra da soma

A derivada de uma soma de duas funções f(x) e g(x) é a soma das derivadas de f(x) e g(x). Por exemplo, seja h(x) = 3x + 5x². A derivada de h(x) é h'(x) = 3 + 10x.

Regra da diferença

Esta regra segue a mesma ideia da regra anterior, porém ela se refere a diferença entre duas funções. Em outras palavras, a derivada da diferença entre f(x) e g(x) é a diferença entre as derivadas de f(x) e g(x).

Derivada da função exponencial natural

A derivada da função exponencial f(x) = ex é ela mesmo.

Regra do produto

Em outras palavras, a regra do produto diz que a derivada de um produto de duas funções é a primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função.

Regra do quociente

Em palavras, a Regra do Quociente diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador.

Estas são algumas das regras de derivação. Existem muitas outras regras, por exemplo, a regra de derivação para funções trigonométricas, entre outras.

Saiba mais sobre derivadas

Para que você tenha um melhor entendimento sobre o assunto estudado, vamos apresentar aqui algumas vídeo aulas e bons estudos!

Derivada, sua definição e cálculo

Aqui, você entenderam um pouco mais sobre o conceito de derivada e como realizar o seu cálculo a partir da definição dela.

Algumas regras de derivação

Neste vídeo, apresentam-se algumas das regras de derivação e como aplicá-las!

Exercícios resolvidos

Para que você entenda melhor sobre as regras de derivação, apresentamos aqui um vídeo com alguns exercícios resolvidos!

Por fim, a derivada é de extrema importância nas áreas de matemática, física, química e biologia. Este assunto também são pertinentes para outras áreas, como economia, ciências contábeis e entre outras também são importantes. Não deixe de estudar sobre funções para se aprofundar nos seus estudos.

Referências

Cálculo, volume 1 – James Stewart

Guilherme Santana da Silva
Por Guilherme Santana da Silva

Graduado no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica à vida religiosa, praticar mountain bike, tocar bateria, dar atenção à família e cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

Como referenciar este conteúdo

Santana, Guilherme. Derivadas. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/derivadas. Acesso em: 04 de August de 2020.

Exercícios resolvidos

1.

Calcule a derivada das funções abaixo:

a) f(x) = x²
b) f(x) = 20
c) f(x) = 5x³ + 2x
d) f(x) = x³ + 1000
e) f(x) = x³ + x² + x + 1

a) Utilizando a regra da potência: f'(x) = 2x

b)A derivada de uma constante é zero

c)Utilizando a regra da potência e a regra da soma, obtemos a resposta: f'(x) = 3.5x² + 2 = 15x² + 2

d)Utilizando a regra da potência, derivada de uma constante e a regra da soma, obtemos a resposta: f'(x) = 3x²

e)Utilizando a regra da potência e a regra da soma, obtemos a resposta:
f'(x) = 3x² + 2x + 1

2.

Encontre a inclinação da reta tangente, no ponto x=1, a seguinte curva:

Sabemos que a inclinação da reta tangente em um ponto é a derivada da função naquele ponto, portanto

m = f'(1)

Vamos então calcular a derivada de f(x), utilizando a regra da soma e da potência. Assim:

f'(x) = 110x10 – 50x9 + 28x3 + 3x2

Dessa forma, vamos calcular agora a derivada no ponto x = 1. Assim

f'(1) = 110 – 50 + 28 + 3 = 91

Portanto, a inclinação da reta tangente a curva é:
m = 91

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