Funções trigonométricas

As funções trigonométricas estão presentes em várias situações do dia a dia, entenda mais sobre suas aplicações.

Em uma região litorânea, é possível se observar a famosa maré. Em resumo, é um fenômeno que se repete em intervalos de tempos iguais. Esse é um exemplo de fenômeno periódico.

Esses fenômenos podem ser descritos por uma função trigonométrica, assunto desta matéria. Além disso, estudaremos também o que é uma função periódica, seu domínio, imagem e contradomínio.

Funções periódicas

No nosso cotidiano, encontramos diversos fenômenos que se repetem em um mesmo intervalo de tempo. É dado o nome de período para o menor intervalo de tempo em que ocorre essa repetição.

Tais fenômenos podem ser descritos por funções periódicas. Podemos então definir uma função periódica da seguinte maneira:

Uma função f: A ⟶ B é periódica se existir um número real positivo p tal que f(x) = f(x + p), ∀ xϵA. O menor valor positivo de p é chamado de período de f.

O que são funções trigonométricas

No primeiro ano do ensino médio, a princípio, se estuda o seno, cosseno e tangente de um triângulo retângulo. Nesta seção vamos associar um número real ao seno, cosseno e tangente.

Para se realizar tal associação, utilizaremos a função seno, função cosseno e função tangente.

As funções seno e cosseno possuem os mesmas características em suas definições. Contudo, se diferenciam apenas em sua representação gráfica, que será apresentada mais à frente.

Por outro lado, a função tangente tem certas limitações em seu domínio, pois ela não definida em certos pontos no eixo dos número reais. Porém, sua imagem abrange todos os números reais.

Função seno

Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Assim, a função seno é uma função definida como f:R ⟶R que associa cada número real x em seu seno, ou seja, f(x) = sen(x).

Juntamente com a imagem, podemos observar que a função seno é periódica, tendo seu domínio em todos os número reais e sua imagem podendo ser apenas de -1 até 1.

A função seno troca seu sinal (positivo ou negativo) dependendo da região de onde está. Ela é positiva no 1° e 2° quadrantes e negativa no 3° e 4° quadrantes.

Além disso, a função seno tem período igual a 2π. Ela é conhecida também como sendo uma função ímpar, pois sen(-x) = -sen(x).

Gráfico da função seno

O gráfico da função seno recebe o nome de senoide. A imagem representa apenas um período da função seno, pois como ela é periódica, essa representação irá se repetir durante todo o domínio.

Função cosseno

Seja x um número real e P sua imagem na circunferência trigonométrica. Dessa forma, a função cosseno é uma função definida como f:R ⟶R que associa cada número real x em seu cosseno, ou seja, f(x) = cos(x).

Diferente da função seno, a função cosseno associa a cada número real x o eixo das abcissas do ponto correspondente a sua imagem P.

Assim como na função seno, existe também uma alternância no sinal da função cosseno. No 1° e 4° quadrantes a função cosseno é positiva. Já no 2° e 3° quadrantes ela é negativa.

Por fim, a função cosseno é uma função par, pois cos(-x) = cos(x). Seu período é o mesmo da função seno, ou seja, 2π.

Gráfico da função cosseno

O gráfico da função cosseno, representado na figura anterior, é conhecido como cossenoide. Ele é quase idêntico ao gráfico da função seno, tendo apenas a diferença de estar defasado em π/2.

Função tangente

A função tangente é definida como sendo uma função f tal que f: {x ∈ R│x ≠ de π/2 + kπ; K ∈ Z} ⟶R, ou seja, temos que f(x) = tan(x).

Podemos observar que existe uma certa limitação para o domínio da função tangente, ou seja, ela não é definida para certos valores de x.

Assim como nas outras funções, o sinal da função tangente também varia no círculo trigonométrico. No 1° e 3° quadrantes, a função tangente é positiva. Por outro lado, no 2° e 4° quadrantes ela é negativa.

O período da função tangente é π. Por fim, essa função é definida como uma função ímpar pois tan(-x) = -tan(x).

Gráfico da função tangente

UEL

No gráfico acima, podemos observar algumas retas verticais, que são chamadas de assíndotas verticais. Elas recebem esse nome devido ao fato de que nos pontos por onde elas passam, não existe ponto em comum com o gráfico.

Entenda mais sobre funções trigonométricas

Selecionamos alguns vídeos explicativos que podem auxiliar no entendimento desse assunto, confira:

Função seno

Nesse vídeo, podemos entender um pouco mais sobre a definição de uma função seno.

Função consseno

Da mesma forma, nesse vídeo conseguimos ter um aprofundamento melhor sobre a função cosseno e suas definições e gráfico.

As funções trigonométricas são importantes para nossos estudos, pois elas são necessárias em alguns exemplos práticos do nosso dia a dia.

Referências

Gelson Iezzi, Matemática: ciência e aplicações;

Luiz Roberto Dante, Matemática: contexto & aplicações.

Guilherme Santana da Silva
Por Guilherme Santana da Silva

Graduando no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica a vida religiosa, a pratica do mountain bike, a tocar bateria, dar atenção a família e a cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

Exercícios resolvidos

1. [UFPI]

O período da função f(x) = 5 + sen (3x – 2) é:

a) 3π

b) 2π/3

c) 3π – 2

d) π/3 – 2

e) π/5

O período da função seno é determinado por:

P = 2π/|C|

onde C é o valor que acompanha x.

P = 2π/3

A alternativa correta é a b.

2. [Bombeiros MG 2008 – Igetec]

As soluções da equação trigonométrica sen(2x) – 1/2 = 0, que estão na primeira determinação são:

a) x = π/12 ou x = 3π/24

b) x = π/12 ou x = 5π/12

c) x = π/6 ou x = 3π/12

d) x = π/6 ou x = 5π/24

sen(2x) – 1/2 = 0

sen(2x) = 1/2

Os arcos cujo seno é 1/2 são π/6 e 5π/6.
Assim, temos dois casos a considerar:

Caso 1:

2x = π/6

x = π/12

Caso 2:
2x = 5π/6

x = 5π/12

Resposta: B

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