Função exponencial

Uma planta crescendo, a população de uma cidade diminuindo e outros exemplos podem ser explicados matematicamente pela função exponencial.

A função exponencial tem várias aplicações, não somente na matemática. Temos a lei de resfriamento na física e o decaimento radioativo na química, por exemplo. Além disso, a biologia e a geografia buscam, na função exponencial, explicar crescimentos ecológicos e sociológicos. Alguns desses casos vão apresentar um crescimento ou decaimento, o que será visto mais adiante.

Mas como representar matematicamente uma função exponencial? Vamos supor que, em uma determinada cultura de bactéria, a população dobre seu valor a cada hora. No início existiam 1000 bactérias. Quando se passou 3 horas, percebeu-se que haviam 8000 bactérias e, passado 10 horas do início do experimento, constatou-se que haviam 10240000. Se passar x horas, quantas bactérias existirão no experimento? A resposta dessa pergunta se dá pela definição de uma função exponencial:

Dado um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f: |R→ |R*+ é definida por f(x)=ax

Exemplos de função exponencial

Com a definição padrão da função exponencial em mente, vamos agora para alguns exemplos.

Exemplo 1

Vamos tomar o exemplo citado acima sobre a colônia de bactérias. Neste caso, teríamos a função exponencial f(x) = b∙2x, sendo b a quantidade de bactérias no início do experimento que, no caso do nosso exemplo, seria de 1000 bactérias.

Exemplo 2

Um outro exemplo bem interessante: suponha que a dívida inicial de uma certa cidade seja de 1 milhão de reais, ou seja x = 0. A partir de agora, a dívida começa a dobrar em relação ao valor devido uma década anterior. Teremos então a seguinte função exponencial para esse exemplo f(x) = 2x.

Exemplo 3

Agora um exemplo de função exponencial para a física. Quando um elemento é radioativo, ou seja, emite radiação, ele tem um tempo de meia-vida que é o tempo que demora para que a metade dos átomos radioativos desse elemento se desintegre. Isso é representado pela função exponencial f(x) = n0∙e-c∙x, onde x é o tempo decorrido do início da radiação, n0 é o número inicial de elementos radioativos e c é a constante de decaimento.

Como diferenciar uma função exponencial que cresce ou decresce? Ou, ainda, o que seria uma função exponencial crescente ou decrescente? Para responder essas perguntas, precisamos entender quais são os tipos de funções.

Tipos de função exponencial

Nos dois primeiros exemplos, pode-se observar que a quantidade da colônia de bactérias e a dívida da cidade aumentavam conforme o tempo ia passando. Já no terceiro exemplo, acontecia o contrário. Identifiquemos então quando uma função exponencial é crescente ou decrescente.

Crescente

Como nos dois primeiros exemplos, se algo cresce de forma muito rápida, mas com um certo padrão, então tal coisa cresce exponencialmente. Uma função é crescente quando:

a > 1

Decrescente

Se em uma determinada situação existe uma queda muito grande, só que de uma forma padronizada, então dizemos que ela cai exponencialmente. Uma função é decrescente quando:

0 < a < 1, ou seja, quando a está entre os valores 0 e 1 (não sendo permitido ser igual a tais valores).

Gráfico da função exponencial

Gráficos de funções exponenciais crescentes e decrescentes

Podemos observar as seguintes características na Figura 1:

Os gráficos em cores azul e roxo são gráficos de funções exponenciais crescentes, pois tem-se que a > 1.

Já nos gráficos nas cores laranja e vermelho, observa-se funções exponenciais decrescentes, pois 0 < a < 1.

Função exponencial: resumo

No vídeo abaixo, podemos ver um breve resumo sobre as funções exponenciais e seus tipos crescente e decrescente.

Referências

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 2010 (Novo Ensino Médio).

PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, 2005 (Volume Único).

Matemática / vários autores. – Curitiba: SEED-PR, 2006. – p. 216.

Guilherme Santana da Silva
Por Guilherme Santana da Silva

Graduando no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica a vida religiosa, a pratica do mountain bike, a tocar bateria, dar atenção a família e a cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

Exercícios resolvidos

1. [UNIT-SE]

Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado pela lei abaixo, onde k é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12.000,00, determine o valor que ela foi comprada.

A) 48000.

B) 48500.

C) 64000.

D) 45900.

E) 84000.

Resposta: A

Sabemos que, quando compramos algo, há um valor inicial. O valor inicial dessa máquina acontece em t = 0, ou seja, no ato da compra. Então pela lei de depreciação fornecida pelo exercício, temos que:

v(10)=12000

Com isso,

v(10)=12000=k.2-0,2.10

Ficamos então com:

12000=k.2-2

12000=k.14

“Passando” o 4 multiplicando do lado esquerdo, obtemos que:

12000.4=k

Portanto, o valor da máquina no momento da compra é de:

k=48000

2. [UESPI]

Um botânico, após registrar o crescimento diário de uma planta, verificou que o mesmo se dava de acordo com a função abaixo, com t representando o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura (em cm) da planta no dia t. Nessas condições, é correto afirmar que o tempo necessário para que essa planta atinja a altura de 88,18 centímetros é:

A) 30 dias.

B) 40 dias.

C) 46 dias.

D) 50 dias.

E) 55 dias.

Resposta: D

Queremos saber em quanto tempo a planta demora pra crescer 88,18 centímetros, ou seja, f(t) = 88,18. Sendo assim, temos que:

ft=88,18=0,7+0,04.30,14t

Subtraindo 0,7 de ambos os lados da equação acima, obtemos que:

88,18-0,7=0,04.30,14t

87.48=0,04.30,14t

Dividindo ambos os lados da equação acima, temos que:

30,14t = 87,18/0,04

30,14t = 2187

O valor 2187 pode ser escrito em potência de base 3, ou seja, 2187=37

Logo:

30,14t = 37

Para resolver tal equação, vamos aplicar o logaritmo neperiano (ln) em ambos os lados da equação acima, assim:

ln⁡(30,14t) = ln⁡(37)

0,14t.ln⁡(3)=7.ln⁡(3)

0,14t=7

t=7/0,14

t=50

Portanto, o tempo necessário para a planta crescer 88,18 centímetros é de 50 dias.

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