Função Composta

Entenda a definição e aplicação de uma função composta, que pode ser utilizada em muitos exercícios e situações diversificadas.

Sejam f e g funções. Podemos, então, escrever uma função h que possa ser uma combinação das funções. Chamamos isso de composição de função ou simplesmente função composta.

Por outro lado, devemos ter o conhecimento sobre o conceito das funções inversas. Isso se deve ao fato de que essas podem ser confundidas com funções compostas. Dessa maneira, vamos identificar a diferença entre elas.

Definição

Frequentemente, definimos uma função composta da seguinte maneira:
Sejam A, B e C conjuntos e sejam as funções f: A -> B e g: B -> C. A função h: A -> C tal que h(x) = g(f(x)) é chamada de função composta de g com f. Indicaremos essa composição por g o f, lê-se “g composta f”.

Alguns exemplos de função composta

A área de um terreno

Vamos considerar, a princípio, o seguinte exemplo. Um terreno foi dividido em 20 lotes. Todos os lotes são quadrados e áreas iguais.

De acordo com o que foi apresentado, vamos mostrar que a área do terreno é uma função da medida do lado de cada lote, representando, assim, uma função composta.

Antes de mais nada, vamos indicar o que é cada uma das informações necessárias. Dessa forma, temos:

  • x = medida do lado de cada lote;
  • y = área de cada lote;
  • z = área do terreno.

Sabemos que o lado da figura geométrica do quadrado é o valor do lado desse quadrado elevado ao quadrado.

De acordo com o enunciado do exemplo, obtemos que a área de cada lote é uma função da medida do lado, segundo a imagem a seguir:

Do mesmo modo, a área do terreno total pode ser expresso, como uma função de cada, ou seja:

Para mostrarmos o que se pede, de antemão, vamos “substituir” a equação (1) na equação (2), assim:

Em conclusão, podemos afirmar que a área do terreno é uma função da medida de cada lote.

Relação de duas expressões matemáticas

Suponha agora o seguinte esquema:

Sejam f:A⟶B e g:B⟶C funções que são definidas da seguinte maneira:

Por outro lado, vamos identificar a função composta g(f(x)) que relacionam os elementos do conjunto A com o conjunto C.

Para fazermos isso, antecipadamente, precisamos apenas “colocar” a função f(x) dentro da função g(x), conforme segue abaixo.

Em síntese, podemos observar a seguinte situação:

  • Para x = 1, temos g(f(1)) = 12 + 6.1 + 8 = 15
  • Para x = 2, temos g(f(2)) = 22 + 6.2 + 8 = 24
  • Para x = 3, temos g(f(3)) = 32 + 6.3 + 8 = 35
  • Para x = 4, temos g(f(4)) = 42 + 6.4 + 8 = 48

Enfim, a expressão g(f(x)) realmente relaciona os elementos do conjunto A com os elementos do conjunto C.

Função composta e função inversa

Definição de função inversa

Primeiramente, vamos relembrar a definição de uma função inversa, em seguida, entenderemos a diferença entre função inversa e função composta.

Dada uma função f: A → B, bijetora, denomina-se função inversa de f a função g: B → A tal que, se f(a) = b, então g(b) = a, com aϵA e bϵB.

Em suma, uma função inversa nada mais é do que uma função que “reverte” o que foi feito.

Diferença entre função composta e função inversa

A princípio, pode ser difícil observar qual é a diferença entre as duas funções.

A diferença existe justamente nos conjuntos de cada função.

Uma função composta leva um elemento de um conjunto A diretamente até um elemento do conjunto C, pulando o conjunto B no meio do caminho.

Porém, a função inversa apenas pega um elemento de um conjunto A, leva até o conjunto B e depois faz o contrário, ou seja, pega esse elemento de B e leva até A.

Dessa forma, podemos observar que a diferença entre as duas funções está na operação que realizam.

Aprenda mais sobre função composta

Para entender melhor, selecionamos alguns vídeos com explicações sobre o tema.

Função composta, sua definição e exemplos

Este vídeo apresenta a definição de função composta e de alguns exemplos.

Mais exemplos de função composta

Alguns exemplos a mais sempre são bem vindos. Este vídeo apresenta e soluciona outras funções compostas.

Um exemplo de função inversa

Nesse vídeo, podemos entender um pouco mais sobre a função inversa com uma explicação passo a passo.

A função composta, é muito utilizada em vários vestibulares, sendo assim a essencial compreensão desse assunto para quem vai fazer a prova.

Referências

Colégio Bernoulli, Matemática: volume 3;

Manoel Paiva, Matemática;

Luiz Roberto Dante, Matemática: contexto & aplicações..

Guilherme Santana da Silva
Por Guilherme Santana da Silva

Graduando no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica a vida religiosa, a pratica do mountain bike, a tocar bateria, dar atenção a família e a cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

Exercícios resolvidos

1. [BRDE 2012]

Seja f: R+ → R dada por f(x) = √x e g: R → R+ dada por g(x) = x² + 1. A função composta (g o f)(x) é dada

a) √x² + 1

b) x+1

c) √x² + 1

d) √x²

e) x² + 1

Como queremos (g o f)(x), ou g(f(x)), precisamos apenas substituir a função f(x) em g(x), assim

g(f(x)) = f(x)2 + 1

Como f(x) = √x, temos que

g(f(x)) = (√x)2 + 1

Portanto

g(f(x)) = x + 1

A resposta correta é a letra b.

2. [Mackenzie – SP]

As funções f(x) = 3–4x e g(x) = 3x+m são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. O valor de m é:

a) 9/4

b) 5/4

c) –6/5

d) 9/5

e) –2/3

Sabendo que f(g(x)) = g(f(x)):

Vamos realizar a composição de funções de ambos os lados da igualdade:

3 – 4.(3x+m) = 3.(3-4x) + m

3-12x-4m = 9-12x+m

-4m-m = 9-3-12x+12x

-5m = 6

(-1).-5m = 6.(-1)

5m = -6

m = – 6/5

Portanto, para que a igualdade f(g(x)) = g(f(x)) seja verdadeira, é necessário que m = – 6/5.

A resposta correta é a letra c.

3. [PUC - PR]

Considere f(x) = (x2 – 1)/(x – 2) e g(x) = (x – 1) e . Calcule f(g(x)) para x = 4:

a) 6

b) 8

c) 2

d) 1

e) 4

Vamos realizar a composição de f(g(x)):

f(g(x)) = [(x-1)2-1]/[(x-1)-2]

f(g(x)) = (x2 -2x+1-1)/(x-1-2)

f(g(x)) = (x2-2x)/(x-3)

Agora que realizamos a composição de funções, vamos substituir x = 4 na função que encontramos:

f(g(4)) = (42-2.4)/(4-3)

f(g(4)) = (16-8)/1

f(g(4)) = 8

Portanto, a composição f(g(x)), quando x = 4, é 8.

A resposta correta é a letra b.

4. [Cefet – PR]

Se f(x) = x5 e g(x) = (x – 1), a função composta f[g(x)] será igual a:

a) x5 + x – 1

b) x6 – x5

c) x6 – 5x5 + 10x4 – 10x3 + 5x2 – 5x + 1

d) x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1

e) x5 – 5x4 – 10x3 – 10x2 – 5x – 1

Sendo f(x) = x5 e g(x) = x – 1, vamos realizar a composição de funções f[g(x)], isto é, onde houver x na função f(x), nós substituiremos por g(x) = x – 1:

f(x) = x5

f(g(x)) = [g(x)]5

f(g(x)) = [x – 1]5

f(g(x)) = (x – 1)².(x – 1)².(x – 1)

f(g(x)) = (x² – 2x + 1) . (x² – 2x + 1) . (x – 1)

f(g(x)) = (x4 – 2x³ + x² – 2x³ + 4x² – 2x + x² – 2x + 1) . (x – 1)

f(g(x)) = (x4 – 4x³ + 6x² – 4x + 1) . (x – 1)

f(g(x)) = x5 – 4x4 + 6x³ – 4x² + x – x4 + 4x³ – 6x² + 4x – 1

Portanto, a função composta é
f(g(x)) = x5 – 5x4 + 10x³ – 10x² + 5x – 1

A resposta correta é d.

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