Conjuntos

Os conjuntos são aplicados em diversas ocasiões para a organização de elementos.

A teoria de conjuntos é muito importante não só para a matemática, mas para quase todas as matérias que estudamos, pois é através dela que podemos agrupar um determinado tipo de informações. Essa teoria foi formulada em 1874 por George Cantor com uma publicação no Jornal de Crelle. Dessa forma, vamos estudar a notação, os símbolos e as operações de conjuntos.

Notação e representação de conjuntos

Antes de mais nada, um conjunto pode ser definido como uma coleção de objetos chamados elementos. Esses elementos são agrupados conforme uma propriedade comum entre eles ou que satisfazem a uma determinada condição.

Logo, podemos representar um conjunto de várias maneiras. Geralmente os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os seus elementos por letras minúsculas, no caso em que não for um numeral. Vamos então estudar cada um dessas maneiras de representação.

Representação por chaves com separação entre vírgulas: “{}”

Nesta representação, os elementos são colocados entre chaves e sendo separados por vírgulas. A vírgula também pode ser trocada por ponto e vírgula (;).

Representação por propriedades dos elementos

Outra representação possível é a partir das propriedades do elemento. Por exemplo, na imagem acima o conjunto será composto apenas pelas vogais do alfabeto. Essa forma de demonstrar um conjunto é utilizada para conjuntos que possam vir a ocupar muito espaço.

Representação por diagrama de Venn

Esse esquema é muito utilizado quando se trata de funções de um modo geral. Além disso, essa representação é conhecida como diagrama de Venn.

Cada representação pode ser utilizada em diferentes situações, dependendo apenas de qual é a mais apropriada a ser usada.

Símbolos dos conjuntos

Além das representações, existem também os símbolos dos conjuntos. Esses símbolos são utilizados para definir se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto entre vários outros significados e símbolos. Assim, vamos estudar alguns dessa simbologia de conjuntos.

  • Pertence (∈): quando um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo ∈ (pertence) para representar tal situação. Por exemplo, i∈A pode-se ler como sendo i pertence ao conjunto A;
  • Não pertence (∉): esse seria o contrário do símbolo anterior, ou seja, serve para quando um elemento não pertence a um determinado conjunto;
  • Símbolo de contido (⊂) e contém (⊃): se o conjunto A é subconjunto do conjunto B, dizemos que A está contido em B (A ⊂ B) ou ainda que B contém A (B ⊃ A).

Esses são alguns dos símbolos mais utilizados para os conjuntos.

Conjuntos numéricos usuais

Conforme a humanidade foi evoluindo, juntamente com a matemática, a necessidade de contar as coisas e organizá-las melhor foi se fazendo presente no cotidiano. Dessa forma, surgiram os conjuntos numéricos, uma forma de diferenciar os tipos de numerais existentes conhecidos até hoje. Nesta parte vamos estudar os conjuntos do números naturais, inteiros e racionais.

Números naturais

A partir de zero e sempre acrescentando uma unidade podemos obter o conjunto dos números naturais. Além disso, esse conjunto é infinito, ou seja, ele não possui um “tamanho” bem definido.

Números inteiros

Utilizando os símbolos de + e , para todos os números naturais, podemos determinar o conjunto dos números inteiros pois assim obtemos um número positivo e outro negativo.

Números racionais

Quando tentamos dividir, por exemplo, 1 por 3 (1/3) obtemos um resultado sem solução no conjunto dos números naturais ou inteiros, ou seja, o valor não é exato. Houve então a necessidade de se determinar um outro conjunto conhecido como conjunto dos número racionais.

Além desses conjuntos podemos contar também com o conjunto dos números irracionais, reais e o dos números imaginários, com características mais complexas.

Operações com conjuntos

É possível realizar operações com os conjuntos que auxiliam nas aplicações dos mesmos. Entenda mais sobre cada uma a seguir:

União de conjuntos

Um conjunto é formado por todos os elementos de A ou B então dizemos que temos uma união entre os dois conjuntos (A ∪ B).

Intersecção de conjuntos

Por outro lado, para um conjunto formado pelos elementos de A e de B dizemos que esses dois conjuntos formam uma intersecção entre eles, ou seja, temos que A ∩ B.

Número de elementos da união de conjuntos

É possível saber qual é o número de elementos da união de um conjunto A com o conjunto B. Para isso utilizamos a seguinte relação:

Tome como exemplo os conjuntos A={0,2,4,6} e B={0,1,2,3,4}. O primeiro conjunto contém 4 elementos e o segundo possui 5 elementos, porém quando fazemos a união deles o número de elementos de A ∩ B é contado duas vezes, por isso subtraímos n(A ∩ B).

Essas operações são importantes para o desenvolvimento de alguns exercícios e para um maior entendimento sobre os conjuntos.

Entenda mais sobre conjuntos

Até aqui vimos algumas definições e operações dos conjuntos. Dessa forma vamos entender um pouco mais sobre esse conteúdo com o auxílio dos vídeos abaixo.

Conceitos introdutórios

Com o vídeo acima é possível ter um pouco mais de conhecimento sobre os conceitos introdutórios da Teoria de Conjuntos. Além disso, podemos entender tal teoria através de exemplos.

Exercício resolvido com diagrama de Venn

É possível resolver exercícios de conjuntos utilizando o diagrama de Venn, como mostra o vídeo acima.

Conjuntos numéricos

Nesse vídeo, podemos entender um pouco mais sobre os conjuntos numéricos e algumas de suas propriedades.

A Teoria de Conjuntos está presente em nosso cotidiano. Podemos agrupar muitas coisas em um conjunto para facilitar a nossa vida.

Referências

Matemática completa 1 – José Roberto Bonjorno;

Matemática: contexto e aplicações – Luiz Roberto Dante.

Guilherme Santana da Silva
Por Guilherme Santana da Silva

Graduando no curso de Física pela Universidade Estadual de Maringá. Professor assistente em um colégio de ensino médio e preparatório para os vestibulares. Nas horas vagas se dedica à vida religiosa, praticar mountain bike, tocar bateria, dar atenção à família e cuidar de suas duas gatinhas Penélope e Mel.

Exercícios resolvidos

1. [Unifap]

O dono de um canil vacinou todos os seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e 60% contra cinomose. Determine o porcentual de animais que foram vacinados contra as duas doenças.

Podemos representar essa situação pelo diagrama de Venn a seguir

Sabemos que a soma de todos os percentuais que são mostrados acima é 100%, assim temos que

80 – x + x + 60 – x = 100
140 – 2x + x = 100
– x = 100 – 140
– x = – 40
x = 40

RESPOSTA: 40%

2. [UFSE]

Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência:

a) venceu A, com 120 votos.
b) venceu A, com 140 votos.
c) A e B empataram em primeiro lugar.
d) venceu B, com 140 votos.
e) venceu B, com 180 votos.

Como cada eleitor podia votar em apenas dois candidatos, precisamos olhar o total de votos das intersecções de A e B, A e C e B e C, conforme a figura a seguir

Assim, temos que
Votos recebidos pelo candidato A = 100 + 20 = 120
Votos recebidos pelo candidato B = 100 + 80 = 180
Votos recebidos pelo candidato C = 80 + 20 = 100

Portanto o candidato B ganhou a eleição com 180 votos.

RESPOSTA: e)

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