Números Primos

Pertencentes ao conjunto dos números naturais, representam dos mais importantes conceitos das matemática.

Um número primo natural apresenta apenas dois divisores distintos: o 1 e ele mesmo. O número 1 não é considerado um número primo, uma vez que ele é somente divisível por ele mesmo. O zero também não é um número primo. Já um número natural maior que 1 e que não é primo, é chamado número composto.

Exemplos:

I) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. O número 2 também é o único número primo par.

II) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.

III) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 é um número composto.

 

Teorema Fundamental da Aritmética

“Todo número natural maior do que l ou é primo ou se escreve de modo único (a menos da ordem dos fatores) como um produto de números primos.” (Hefez, 2011, pg. 83).

De acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética, os números primos, por meio da multiplicação, são suficientes para gerar todos os números naturais. No entanto, os números primos não podem ser representados pelo produto da multiplicação de dois números menores. Ao aplicar a fatoração, ou seja, a decomposição dos números em fatores primos, pode-se representar os números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética.

Exemplos:

8 = 2 x 2 x 2
9 = 3 x 3
10 = 2 x 5
27 = 3 x 3 x 3
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2

Você sabia?

Números primos e a criptografia

A divisão de números compostos em fatores primos é realizada por meio de algoritmos relativamente simples, ou ainda utilizando a Fatoração de Fermat ou mesmo um procedimento chamado Crivo de Eratóstones. Todos esses processos de fatoração são denominados Testes de Primalidade. Porém, no caso de números muito grandes (alguns com mais de 200 dígitos), a fatoração se torna inviável por esses meios. E é nesse ponto que se baseia a criptografia RSA, que é usada para encriptar mensagens de email, transações com cartões de crédito via internet e chamadas telefônicas.

Referências

HEFEZ, A. Elementos da Aritmética. 2ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011

OKUMURA, M. K. Números primos e criptografia RSA. Dissertação de Mestrado. Universidade de São Paulo: São Carlos. 2014. 41p.

Por Carlos Ferreira
Teste seu conhecimento
1. (UNIFOR) – A soma de todos os números primos que são divisores de 30! é :
a) 140
b) 139
c) 132
d) 130
e) 129
2. (UEL) Seja um número primo maior que . É verdade que o número p^2 - 1 é divisível por:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

1.[e]

Seja S = 30!, então
S = 30.29.28…3.2.1
Sabemos que como S é obtido pelo produto dos números naturais de 1 a 30,
logo todos os números primos que aparecem nesse intervalo são divisores de S = 30!.
portanto a soma  é igual a
2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129
2. [b]
Se p é um número primo maior que 2, então necessariamente ele é ímpar. Sendo assim, necessariamente, tanto o seu sucessor quanto o seu antecessor são pares: isto é, (p+1) é par e (p-1) também é par. Mas

p² – 1= (p+1)(p-1)

Todo número par é divisível por 2 (ou seja, 2. K, onde K é um número natural). Assim:
p² – 1= (p+1)(p-1) = 2 . K₁ . 2 . K₂ = 4 . K₁K₂

Logo, p² – 1 será divisível por 4.

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