Equação exponencial

A equação exponencial deve ser da forma ax = b, desde que a e b pertençam aos números reais e a seja diferente de 1.

Já estamos acostumados a resolver equações de primeiro e de segundo graus. Neste post, aprenderemos como resolver equações nas quais a incógnita está localizada no expoente e a base é um número real positivo diferente de 1: a equação exponencial. Acompanhe!

O que é equação exponencial

Para ser considerada uma equação, a expressão algébrica deve conter ao menos uma incógnita e uma igualdade. Uma equação exponencial deve apresentar a incógnita em um expoente, na qual as bases devem ser números reais positivos diferentes de 1. Ou seja, deve ser da seguinte forma:

Note que a e b são números reais e x deve ser positivo e diferente de 1.

Propriedades da equação exponencial

Para resolver equações exponenciais, é preciso obter potências de mesma base. Para isso, é necessário relembrar algumas propriedades da potenciação, as quais nos ajudarão nas resoluções. Acompanhe:

  • Multiplicação de potências de mesma base: repete-se a base e somam-se os expoentes.
  • Divisão de potências de mesma base: repete-se a base e subtraem-se os expoentes.
  • Potência de potência: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.
  • Potência do produto: a potência do produto é o produto das potências.
  • Potência do quociente: a potência do quociente é o quociente das potências.
  • Potência negativa: inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo, desde que o denominador seja diferente de zero.
  • Potência fracionária: quando o expoente é uma fração, pode-se escrever a operação na forma de radical. Assim, o denominador do expoente passa a ser o índice do radical, enquanto o numerador do expoente passa a ser o expoente do radicando.
  • Igualdade de potências de mesma base: se duas potenciações têm a mesma base e são iguais, isso implica que os seus expoentes também sejam iguais.

Essas são as principais propriedades da potenciação, as quais serão úteis na resolução de uma equação exponencial.

Resolução de equação exponencial

Para resolver uma equação exponencial, devemos organizar a expressão algébrica de modo a obter uma igualdade de potências com a mesma base.

Nesse caso, é fácil perceber que 125 equivale a 53. Assim:

Com base em uma das propriedades da potenciação, obtemos que x = 3. Ou seja, se 5x= 53, podemos afirmar que x = 3.

Vídeos sobre equações exponenciais

Existem várias outras abordagens para a resolução de problemas que envolvam equações exponenciais. Então, separamos videoaulas para você aprofundar ainda mais seu conhecimento desse assunto. Confira:

Equações exponenciais com bases diferentes

Como resolver equações exponenciais quando as bases são diferentes? Para isso, é necessário aplicar as propriedades dos logaritmos. Para aprender a resolver esse tipo de equação, veja o vídeo do professor Grings!

Resolução comentada de uma equação exponencial

O professor Robson Liers resolve um exercício que envolve soma de potências e equações exponenciais. Esse tipo de expressão algébrica é muito cobrado em provas de grande escala, como Enem e vestibulares.

Função exponencial e equação exponencial

De que maneira a função exponencial se relaciona com a equação exponencial? Veja o vídeo do professor Ferretto para compreender melhor a relação entre esses dois conceitos matemáticos.

Para resolver todos os tipos de equação exponencial, veja também nosso conteúdo sobre logaritmos!

Referências

Pré-Calculo (2013) – Franklin D. Demana et al.
Um Curso de Cálculo – Volume 1 (2001) – Hamilton Luiz Guidorizzi

Hugo Shigueo Tanaka
Por Hugo Shigueo Tanaka

Divulgador Científico e co-fundador do canal do YouTube Ciência em Si. Historiador da Ciência. Professor de Física e Matemática. Licenciado em Física pela Universidade Estadual de Maringá (UEM). Mestre em Ensino de Ciências e Matemática (PCM-UEM). Doutorando em Ensino de Ciências e Matemática (PCM-UEM).

Como referenciar este conteúdo

Tanaka, Hugo Shigueo. Equação exponencial. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/equacao-exponencial. Acesso em: 26 de January de 2021.

Exercícios resolvidos

1. [Mackenzie]

A soma das raízes da equação (4x)2x-1 = 64 é igual a:

a) -1/2
b) -1
c) 1/2
d) 1
e) 52

Aplicando as propriedades da potenciação, temos que:

Encontrando as raízes para a equação de segundo grau, obtemos: x’ = 3/2 e x” = -1.
Ao somar as duas raízes, encontramos o valor de 1/2.

Resposta correta: C

2. [Unesp]

Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência 4n, com n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro de visitas diárias do que um site que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas do site S é igual a:

a) 12
b) 9
c) 8,5
d) 8
e) 6,5

Sendo x o índice de visitas ao site S, temos:

4x = 2 · 46

Como 2 equivale à raiz quadrada de 4, podemos escrevê-lo como 41/2 = 40,5.

Assim,

4x = 40,5 · 46

Temos uma multiplicação de potências com a mesma base. Assim, repetimos a base e somamos os expoentes.

4x = 46,5

Como as bases são iguais, concluímos que x = 6,5.

Resposta correta: E

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