Cônicas

À primeira vista, uma casquinha de sorvete é apenas uma casquinha de sorvete, certo? Para a matemática, porém, existe outra definição para essa guloseima.

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Conhecemos a casquinha de sorvete como a forma geométrica chamada cone, sendo essa muito importante para a definição de várias outras curvas conhecidas como cônicas: a elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência.

Cone duplo de revolução

As cônicas são geradas a partir do cone duplo de revolução, uma figura obtida da rotação de um triângulo retângulo em volta de um dos seus catetos.

A partir da interseção de um plano com o cone de revolução dupla, podemos obter as quatros curvas citadas acima: circunferência, elipse, parábola e hipérbole. A diferença entre elas está no modo em como o plano “corta” o cone.

Circunferência

Sendo,

• O: centro da circunferência
• r: raio da circunferência

Uma circunferência de centro O (a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos P (x, y), cujo a distância até o centro é sempre o raio r.

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Equação

Juntamente com a definição, podemos obter a equação reduzida da circunferência, escrita da seguinte forma:

Elipse

Sendo,

• F₁ e F₂: focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c);
• A₁A₂: eixo maior da elipse, cuja medida é 2a;
• B₁B₂: eixo menor da elipse, cuja medida é 2b;
• O: centro da elipse, intersecção dos eixos da elipse e ponto médio dos eixos;
• e: excentricidade da elipse se e = c/a.

Quando um cone é cortado por um plano inclinado e que corte todas suas geratrizes, obtemos uma secção cônica chamada de elipse. O plano não pode ser paralelo ao plano da base, pois neste caso obteríamos uma circunferência. Dessa forma, as equações reduzidas da elipse podem ser deduzidas a partir da distância entre pontos.

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Equações

Em suma, quando a elipse está no centro de coordenadas do plano cartesiano, e seu eixo maior está em x, temos a seguinte equação, conhecida como equação reduzida da elipse:

Por outro lado, quando a elipse está fora do centro do plano cartesiano, temos a seguinte equação:

* Em que, x_c e y_c são o centro da elipse

Parábola

Sendo,

• F: foco da parábola;
• d: diretriz da parábola;
• V: vértice da parábola;
• Eixo de simetria: reta que passa por F e é perpendicular a d;;

Teremos então duas equações para a parábola.

Equações

A primeira equação tem simetria vertical, ou seja, a reta diretriz é em x.

Ainda mais, a segunda equação se faz presente quando a parábola está fora do centro do plano, sendo sua equação:

ainda mais, temos que x_v e y_v é o vértice da parábola. Se x_v = 0 e y_v = 0, voltamos a primeira equação reduzida da parábola.

Hipérbole

Sendo,

• F₁ e F₂: focos da hipérbole, em que F₁ F₂ = 2c a distância focal;
• A₁ e A₂: vértices da hipérbole
• O: centro da hipérbole.
• e: excentricidade da hipérbole, em que e = c/a.

Dessa forma, podemos montar as equações da hipérbole.

Equações

A primeira equação reduzida da hipérbole é obtida quando os focos estão sobre o eixo x:

A segunda equação se deve ao fato de que a hipérbole está fora do centro do plano cartesiano, ficando:

* Em que, x_c e y_c são o centro da hipérbole

Resumo

Para fechar, assista a seguir um vídeo que resume as cônicas estudadas:

Referências