A geometria espacial é a área da matemática que estuda figuras no espaço, ou seja, que possuem mais de duas dimensões.
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Assim como a geometria plana, o estudo da geometria espacial está baseado em axiomas fundamentais. Além dos axiomas já utilizados em geometria plana (ponto, reta e plano), outros quatro são importantes para entender a geometria espacial:
“Por três pontos não colineares passa um único plano”
“Qualquer que seja o plano, existem infinitos pontos nesse plano e infinitos pontos fora dele.”
“Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a intersecção entre eles é uma reta.”
“Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano.”
(Ferreira et al., 2007, pg.63)
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As figuras espaciais que são objeto de estudo desse campo da geometria são conhecidos como sólidos geométricos, ou ainda, figuras geométricas espaciais. Assim, é possível determinar, o volume destes mesmos objetos, ou seja, o espaço que estes ocupam.
Figuras geométricas espaciais
A seguir, alguns dos sólidos geométricos mais conhecidos:
Cubo
Hexaedro regular constituído por 6 faces quadrangulares, 12 arestas e 8 vértices sendo:
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Área lateral: 4a2
Área total: 6a2
Volume: a.a.a = a3
Dodecaedro
Poliedro regular com de 12 faces pentagonais, 30 arestas e 20 vértices sendo:
Área Total: 3√25+10√5a2
Volume: 1/4 (15+7√5) a3
Tetraedro
Poliedro regular que apresenta 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices sendo:
Área total: 4a2√3/4
Volume: 1/3 Ab.h
Octaedro
Poliedro regular com 8 faces formada por triângulos equiláteros, 12 arestas e 6 vértices sendo:
Área total: 2a2√3
Volume: 1/3 a3√2
Prisma
Poliedro com duas faces paralelas que formam a base. Esta ser triangular, quadrangular, pentagonal, hexagonal. O prisma é composto, além da face, pela altura, lados, vértices e arestas unidos por paralelogramos.
Área da Face: a.h
Área Lateral: 6.a.h
Área da base: 3.a3√3/2
Volume: Ab.h
Onde:
Ab: Área da base
h: altura
Pirâmide
Poliedro que possui uma base, que pode ser triangular, pentagonal, quadrada, retangular, paralelogramo e um vértice que une todas as faces laterais triangulares. Sua altura corresponde a distância entre o vértice e sua base.
Área total: Al + Ab
Volume: 1/3 Ab.h
Onde:
Al: Área lateral
Ab: Área da base
h: altura
Você sabia?
Os “Sólidos Platônicos” são poliedros convexos no quais todas as suas faces são polígonos regulares congruentes formados pelas arestas. Recebem este nome porque Platão foi o primeiro matemático que conseguiu provar a existência de apenas cinco poliedros regulares. No caso, os cinco “sólidos platônicos” são: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro.
Um poliedro é considerado platônico se obedecer às seguintes condições:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Referências
FERREIRA, E. L. C.; NETO, F. X. F.; RIOS, I. L. Geometria básica. Volume 2, 3ª Edição. Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2007.
Por Carlos Ferreira
Formado em Ciências Econômicas e Jornalismo. Possui ampla experiência editorial e redacional em conteúdos jornalísticos com foco em mídias digitais.
Ferreira, Carlos. Geometria Espacial. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/geometria-espacial. Acesso em: 24 de April de 2024.
01. [UEM/2008] O sólido S, ilustrado na figura abaixo, foi obtido seccionando-se uma pirâmide não regular, por um plano não paralelo à base da mesma, subtraindo-se a porção que contém o vértice. Com essas considerações, assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
01) Os planos que contêm as faces laterais do sólido S interceptam-se em um ponto.
02) Os planos que contêm as faces ABC e DEF interceptam-se em apenas um ponto.
04) A reta suporte da aresta DF não intercepta o plano que contém a face ABC.
08) Não existe um plano que contenha as retas suportes das arestas AC e DE.
16) A aresta EB é perpendicular a alguma reta do plano que contém a face ABC.
02. [UFBA-2006] Com relação a um prisma reto de base quadrada, é correto afirmar:
01) Cada diagonal de uma face divide-a em dois triângulos congruentes.
02) Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares de vértices não pertencentes a uma mesma face.
04) Dadas duas faces não adjacentes e quatro vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano que contém esses quatro vértices.
08) Dados dois vértices consecutivos, para cada n {1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida uma única vez.
16) Se a medida do lado da base e a altura do prisma são números inteiros consecutivos, e o volume é um número primo p, então p é único.
32) Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas bases são faces do prisma e cujos vértices são também vértices do prisma.
01. [Somatório: 24 (08+16=24)]
Comentário:
01) A intersecção de dois planos não coincidentes é uma reta.
02) A intersecção de dois planos não coincidentes é uma reta.
04) Os planos determinados por ABC e DEF não são paralelos. Assim, DF pode ou não interceptar o plano ABC.
02. [somatório 57 (01+08+16+32=57)]