Binômio de Newton

“Isaac Newton nasceu no interior da Inglaterra, tendo estudado no Trinity College em Cambridge. (…) Por ocasião da peste, voltou para casa pois o colégio foi fechado e neste período fez suas principais descobertas: o teorema binomial, o cálculo, a lei da gravitação e a natureza das cores.” (Hazzam, 2004, pg. 46-E).

Publicidade

O nome é uma homenagem ao físico e matemático inglês Isaac Newton, que estabeleceu regras que valem para (a+b)ⁿ quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo. A partir desses estudos de Newton foi desenvolvido o método que possibilita desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como Binômio de Newton, representado pela seguinte fórmula:

Portanto, denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)ⁿ, sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio. O desenvolvimento de um binômio onde n > 3 é baseado num conjunto de regras. Para valores de n entre 2 e 3, utiliza-se o conceito de produtos notáveis, aplicando a propriedade distributiva. Portanto, o Binômio de Newton é considerado um complemento do estudo de Produtos Notáveis.

Para desenvolver o Binômio de Newton é preciso entender os conceitos de Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal. O número de termos resultantes do desenvolvimento do binômio será sempre n+1.

Coeficientes Binomiais

O coeficiente binomial, de um número n, na classe k, consiste no número de combinações de n termos, k a k, representado pela seguinte equação:

Publicidade

Triângulo de Pascal

Já o Triângulo de Pascal é um triângulo aritmético formado por números que têm diversas relações entre si. Muitas dessas relações foram descobertas pelo próprio Pascal, físico e matemático francês do século XVII.

A fórmula matemática para construir o Triângulo de Pascal determina que cada linha terá um número a mais que a anterior. Assim, toda linha n possui n+1 elementos, sempre aplicando a primeira linha como sendo a linha 0. Em cada elemento , é determinado que n é o número da linha e k o número da coluna.

Para construir as linhas do triângulo, a propriedade denominada Relação de Stifel estabelece que qualquer número terá valor igual a soma dos dois números que se encontram na linha acima, somados a partir do número 1 da extremidade.

Publicidade

Exemplo:

1

1 1

(1 + 2) 1

1 (3) 3 1

1 4 (6 + 4) 1

1 5 10 (10) 5 1

Para cada linha do triângulo, é associado um número:

Linha 0: 1

Linha 1: 1 1

Linha 2: 1 2 1

Linha 3: 1 3 3 1

Linha 4: 1 4 6 4 1

Linha 5: 1 5 10 10 5 1

Linha 6: 1 6 15 20 15 6 1

A soma dos números em determinada linha n, se dá pelo resultado da expressão 2ⁿ.  Logo, para a linha 4 a soma dos número que a compõe é 2⁴=16, ou seja, 1+4+6+4+1=16. A sequência de números apresentada na linha 4 é a mesma sequência de números binomiais que será encontrada quando desenvolvemos a equação.

Exemplo:

(2x+1)⁴=)* 2x⁴*1⁰+ )* 2x³*1¹+)* 2x²*1²+)* 2x¹*1³+)* 2x⁰*1⁴

Obetemos então a expressão:

1.16×4.1 + 4.8×3.1 + 6.4×2.1 + 4.2x . 1 + 1.1.1

Existe uma forma simplificada para obter a soma dos coeficientes numérico do desenvolvimento de um binômio:

– troque qualquer letra do binômio por 1

– calcule o valor que ficará dentro dos parênteses

No desenvolvimento do bin6omio acima, a soma dos coeficientes é 81 (16 + 32 + 24 + 8 + 1)

1.16x⁴.1 + 32x³.1 + 24x².1 + 8x . 1 + 1

Utilizando a dica dada:

(2x+1)⁴

(2.1 + 1)⁴ = 3⁴ = 81

Você Sabia?

Aplicações do Binômio de Newton

Umas das áreas em que o Binômio de Newton é utilizado é na genética. No caso de herança quantitativa, ou poligênica, onde participam dois ou mais pares de genes. A interação que ocorre entre os genes (poligenes) que transmitem as características herdadas, acontece de tal forma que cada um deles é responsável por uma parcela do fenótipo resultante. O padrão de distribuição de herança, nesse caso, segue o padrão do Binômio de Newton, sendo (p + q)ⁿ, onde n é o número de poligenes. Entre os exemplos de herança quantitativa temos características como cor de pele, cor do olho humano, altura, peso e cor do cabelo.

Referências