A progressão aritmética, ou P.A. é uma sequência numérica onde cada um dos termos, a partir do segundo, é resultado da soma do termo anterior com uma constante. Essa constante é chamada de razão e representada pela letra r. Podemos chegar a essa razão por meio da subtração entre um termo da sequência pelo anterior. Por exemplo, na sequência (1, 3, 5, 7, 9, 11), que é uma progressão aritmética, temos uma constante, ou uma razão. Para saber qual é, basta pegar um dos termos e subtrair pelo anterior: 11 – 9 = 2, 9 – 7 = 2, e assim por diante. Diante disso, encontramos a razão dessa progressão, que é 2.
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Como são classificadas as progressões aritméticas?
As progressões aritméticas são classificadas de 3 formas distintas, facilitando seu entendimento. Podem ser constantes, decrescentes ou crescentes. As progressões aritméticas crescentes apresentam r > 0, ou seja, a razão precisa ser maior do que 0 e, consequentemente, positiva. Por exemplo, na P.A. (1, 3, 5, 7, 9, 11), usada no exemplo anterior, é uma progressão com razão 2 e, portanto, crescente. As progressões decrescentes, por sua vez, apresentam r < 0, ou seja, uma razão negativa. Identificamos também a progressão decrescente quando o termo seguinte é menor que o antecessor. Por exemplo (12, 10, 8, 6, 4, 2) é uma progressão aritmética decrescente em que a razão é igual a -2. A progressão constante, por fim, são aquelas em que todos os termos são iguais e, portanto, r = 0, ou seja, a razão é nula. Por exemplo (3, 3, 3, 3, 3, 3).
Como calcular a razão da progressão aritmética?
Com uma simples fórmula, conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.A. podemos encontrar não apenas a sua razão, mas identificar um determinado termo desta razão. Considere que an representa o termo geral, a1 representa o primeiro termo da sequência, n é o número de termos da progressão aritmética ou ainda a posição do termo numérico na P.A., e r é a razão.
an = a1 + (n – 1) . r
Diante disso, confira o exemplo abaixo:
Encontre o 20° termo da Progressão Aritmética (2, 4, 6, 8, 10, …).
Com esse problema, podemos identificar que:
a1 = 2
r = 2
n = 20
a20 = x
Aplicando à fórmula, temos:
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 2 + (20 – 1) . 2
a20 = 2 + 19 . 2
a20 = 2 + 38
a20 = 40
Temos, portanto, que o vigésimo termo dessa P.A. é 40.
Outro exemplo de aplicação da fórmula:
Determine a quantidade de termos que existem na P.A. (5, 10,15, …, 120)
Conseguimos extrair do problema os seguintes dados:
a1 = 5
r = 5
n = x
an = 120
Podemos então prosseguir com a resolução:
an = a1 + (n – 1) . r
120 = 5 + (n-1) . 5
120 = 5 + 5n – 5
– 5n = + 5 – 5 – 120
– 5n = – 120
5 n = 120
n = 120/5
n = 24.
Temos, portanto, que essa progressão apresenta 24 termos em sua composição.
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Quais são as propriedades de uma Progressão Aritmética?
Em qualquer P.A., de n termos com razão r, temos algumas propriedades padrão. Qualquer termo de uma P.A., a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior. Além disso, a soma de dois termos equidistantes dos extremos, será sempre igual à soma dos extremos. Quando a P.A. apresentar uma quantidade ímpar de termos, haverá o central que será, portanto, a média aritmética dos extremos da P.A.
Temos ainda outra fórmula usada para as Progressões Aritméticas. A soma dos termos de uma Progressão Aritmética finita pode ser dado por:
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Referências
Matemática para o ensino médio – Valter dos Santos Fernandes, Jorge Daniel Silva, Orlando Donisete Mabelini
Por Natália Petrin
Formada em Publicidade e Propaganda. Atualmente advogada com pós-graduação em Lei Geral de Proteção de Dados e Direito Processual Penal. Mestranda em Criminologia.
Petrin, Natália. Progressão Aritmética. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/progressao-aritmetica. Acesso em: 18 de April de 2024.
01.[ENEM] Em relação à progressão aritmética (10, 17, 24, …), determine:
a) o termo geral dessa PA;
b) o seu 15° termo;
c) a soma de a10 + a 20.
02. [ENEM] Determine:
a) a soma dos 10 primeiros termos da P.A. (2, 5, …)
b) a soma dos 15 primeiros termos da P.A. (-1, -7, …)
c) a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (0,5; 0,75; …)
01. a) Para encontrar o termo geral da progressão aritmética, devemos, primeiramente, determinar a razão r:
r = a2 – a1
r = 17 – 10
r = 7
A razão é 7, e o primeiro termo da progressão (a1) é 10. Através da fórmula do termo geral da PA, temos:
an = a1 + (n – 1). r
an = 10 + (n – 1). 7
Portanto, o termo geral da progressão é dado por an = 10 + (n – 1). 7.
b)Como já encontramos a fórmula do termo geral, vamos utilizá-la para encontrar o 15° termo. Tendo em vista quen = 15, temos então:
an = 10 + (n – 1). 7
a15 = 10 + (15 – 1). 7
a15 = 10 + 14 . 7
a15 = 10 + 98
a15 = 108
O 15° termo da progressão é 108.
c)Vamos utilizar a fórmula do termo geral para identificar os elementosa10 e a 20 da PA:
an = 10 + (n – 1). 7
a10 = 10 + (10 – 1). 7
a10 = 10 + 9 . 7
a10 = 10 + 63
a10 = 73
an = 10 + (n – 1). 7
a20 = 10 + (20 – 1). 7
a20 = 10 + 19 . 7
a20 = 10 + 133
a20 = 143
A soma a10 + a 20 é dada por:
a10 + a 20 = 73 + 143 = 216]
- [Para encontrar a soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …), precisamos identificar a razão e o termoa10. A razão pode ser encontrada pela subtração entre o primeiro termo e o segundo, ou seja, r = 5 – 2 = 3. Vamos utilizar a fórmula do termo geral para encontrar o 10° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a10 = 2 + (10 – 1). 3
a10 = 2 + 9 . 3
a10 = 2 + 27
a10 = 29
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Sabendo que o primeiro termo da progressão é 2 e que n = 10, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S10 = (2 + 29) . 10
2
S10 = 31 . 10
2
S10 = 155
A soma dos 10 primeiros termos da PA (2, 5, …) é 155.
b)Inicialmente, vamos identificar a razão e o termoa15. A razão é dada por:
r = – 7 – (– 1)
r = – 7 + 1
r = – 6
Através da fórmula do termo geral, vamos encontrar o 15° termo da PA:
an = a1 + (n – 1). r
a15 = – 1 + (15 – 1). (– 6)
a15 = – 1 + 14 . (– 6)
a15 = – 1 – 84
a15 = – 85
Agora utilizaremos a fórmula da soma dos termos de uma PA finita. Como n = 15, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S15 = [(– 1) + (– 85)] . 15
2
S15 = (– 86) . 15
2
S15 = – 645
Portanto, a soma dos 15 primeiros termos da PA (– 1, – 7, …) é – 645.
c)Precisamos identificar a razão da PA:
r = 0,75 – 0,5
r = 0,25
Através do termo geral, encontramos o 20° termo dessa sequência:
an = a1 + (n – 1). r
a20 = 0,5 + (20 – 1). 0,25
a20 = 0,5 + 19 . 0,25
a20 = 0,5 + 4,75
a20 = 5,25
Pela fórmula da soma dos termos de uma PA finita, temos:
Sn = (a1 + an) . n
2
S20 = (0,5 + 5,25) . 20
2
S20 = 5,75 . 20
2
S20 = 57,5
A soma dos 20 primeiros termos da PA (0,5; 0,75; …) é 57,5.]