Números irracionais

Os números irracionais fazem parte da matemática básica, e precisam ser compreendidos para que vários outros conceitos possam ser passados.

Os números irracionais nada mais são do que aqueles números reais que não podem ser obtidos por meio da divisão de dois números inteiros sendo, portanto, números reais, mas não racionais. Usamos a letra I maiúscula para representar esse grupo dos números irracionais. Em suas formas decimais são números infinitos não periódicos e, portanto, não admitem serem escritos na forma de fração. Nesse caso, não se tratam de dízimas periódicas, pois não formam períodos apesar de serem infinitos. Confira alguns exemplos:

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  • 0,23252645789221546323…
  • 0,11764705882352941176…

História

A história dos números irracionais remonta o conceito de incomensurabilidade, tendo aqui seus primeiros indícios. Se existir uma unidade comum em que possam ser medidos de forma exata, dois segmentos são comensuráveis. Por exemplo, se pegarmos um segmento com medida 1/8 e outro com medida 1/3, podemos expressá-los por meio de múltiplos inteiros de um segmento de medida: 1/24.

O primeiro número irracional tem sua descoberta associada a Hipaso de Metaponto, que foi um seguidor de Pitágoras que, segundo a história, produziu uma demonstração de que a raiz de 2 é irracional. Pitágoras, entretanto, considerava que a raiz de 2 era responsável por macular a perfeição dos números, de forma que não poderia existir. Não conseguiu, entretanto, por meio da lógica, refutar os argumentos de Hipaso que, segundo conta a lenda, foi condenado por Pitágoras ao afogamento.

Somente algum tempo depois, com Eudoxo de Cnido que começaram a ser estudados novamente pelos gregos. Apenas em 1872, entretando, Dedekind, matemático alemão, fez com que, em termos rigorosos, os números irracionais entrassem na aritmética.

Como são classificados os números irracionais?

Os números irracionais podem ser classificados de duas formas. A primeira, não os números reais algébricos irracionais, que são raízes de polinômios que possuem coeficientes inteiros. Os números reais que podem ser representados por uma determinada quantidade de somas, subtrações, multiplicações, divisões e raízes de grau inteiro por meio dos números inteiros é um número algébrico. A recíproca, entretanto, não é verdadeira, já que existem números algébricos que não podem ser expressos por meio de radicais. A segunda forma de classificação, são os números reais transcendentes, que não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. Algumas das principais constantes matemáticas, como pi, por exemplo, e o número de Euler, são transcendentes. Podemos afirmar, inclusive, que existem mais números transcendentes do que algébricos.

Raiz quadrada de 2 é irracional

Podemos provar que a raiz quadrada de dois é irracional por meio da redução ao absurdo. Vamos supor, inicialmente, que a raiz quadrada de dois é racional. Podemos, portanto, coloca-la na forma p/q oncd mdc (p,q) = 1.
p/q=√2
Se elevarmos ambos ao quadrado, temos que (p / q)² = 2.
P² = 2q².
Considerando que p² é par, p também seria par já que (2n)² = 2(2n²), e o quadrado de um número ímpar é ímpar (2n + 1)² = 2(2n + 2n) + 1. Podemos, portanto, determinar que p = 2k. Ao substituirmos na última igualdade, temos que:
(2k)² = 2q² de forma que: 2k² = q².

Porém, em hipótese, temos que mdc (p,q) = 1. Dessa forma, podemos concluir, portanto, que raiz quadrada de 2 é irracional.

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Referências

Matemática fundamental – Uma nova abordagem – Giovanni, Giovanni Jr. Bonjorno

Natália Petrin
Por Natália Petrin

Formada em Publicidade e Propaganda. Atualmente advogada com pós-graduação em Lei Geral de Proteção de Dados e Direito Processual Penal. Mestranda em Criminologia.

Como referenciar este conteúdo

Petrin, Natália. Números irracionais. Todo Estudo. Disponível em: https://www.todoestudo.com.br/matematica/numeros-irracionais. Acesso em: 28 de March de 2024.

Teste seu conhecimento

01. [ENEM] 

Classifique as afirmações a seguir como verdadeiras ou falsas.

1 – Um número natural não pode ser um número racional;

2 – O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números irracionais;

3 – O conjunto dos números irracionais não está contido no conjunto dos números racionais;

4 – O conjunto dos números irracionais é formado pela união entre os conjuntos dos números racionais e reais;

5 – Qualquer raiz quadrada tem como resultado um número racional.

a) V, F, V, F, F

b) V, F, V, F, V

c) F, F, F, V, F

d) F, V, F, V, V

e) F, V, V, F, V

02. [ENEM]

As alternativas abaixo fazem afirmações sobre o conjunto dos números irracionais. Qual delas está correta?

a) O conjunto dos números irracionais é formado por todos os números que podem ser escritos na forma de fração.

b) No conjunto dos números irracionais, é possível encontrar alguns números inteiros, como √2.

c) O conjunto dos números irracionais é formado por todas as raízes de números que não são quadrados perfeitos.

d) O conjunto dos números irracionais é constituído por todos os decimais que não são números racionais.

e) O conjunto dos números racionais também contém dízimas periódicas.

01. [A]

02. [D]

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